Vecteurs colinéaires

Définition

• Soit \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs non nuls.
  

On dit que les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires s'ils ont même direction.

• On dit que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
  

Propriété

Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement si il existe un réel \(k\) tel que \(\boxed{\overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u}}\) ou \(\boxed{\overrightarrow{u} = k \times \overrightarrow{v}}\).

Le réel \(k\) ainsi défini est alors appelé coefficient de colinéarité.

Exemple

Soit \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) une base du plan. Soit \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4\\ -1\\\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -8\\ 2\\ \end{pmatrix}\) deux vecteurs du plan.

On remarque que \(\overrightarrow{v} = -2 \times \overrightarrow{u}\) .
Donc les vecteurs  \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires (c'est-à-dire \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ont la même direction).